Guía 5 de Matemáticas: Factorización

Uno de los temas críticos que presenta la matemática del nivel medio y de los primeros tiempos en la universidad suele ser la factorización (o “factoreo”) de expresiones algebraicas. Lo que ves inicialmente como algo introducido por algún demonio para complicarte la vida renace cuando en Análisis Matemático reaparece en todo su esplendor para poder comprender y resolver los llamados Límites de Funciones. Del nivel de manejo que logres adquirir sobre esos polinomios que cada vez se presentan como más complejos, especialmente cuando están ocultos o semiocultos en expresiones más enrevesadas, dependerá tu capacidad para encontrar resultados correctos a los problemas planteados.

Como te he intentado develar en Guías anteriores, luego de las elementales sumas y restas que ya manejaban los humanos primitivos surge la primera operación destinada a facilitar los cálculos: para evitar repetir muchas veces una misma suma (por ejemplo, 3 + 3 + 3 +… digamos, 349 veces) es creada una “multiplicación” (3 x 349) que puede acortar el camino, las más de las veces espectacularmente. Y paralelamente nace su operación complementaria que busca lo contrario: la división.

Una mente especial seguramente notó que la multiplicación y la división eran algo así como “máquinas de calcular” primitivas y que como toda máquina buscaban producir algo, en este caso un resultado al que llamó “producto”. Con esto, los intervinientes eran quienes lo hacían (sus “factores”), en nuestro ejemplo el “3” y el “349”, que aunando esfuerzos producían un “1.047” que ya existía oculto entre los repliegues de sus rincones más íntimos.

Y como 3 x + 2x permitían reducir dos términos a solamente uno (5x), 20x multiplicado por 5 unía factores para hacer de ellos un antes oculto 100x. O, utilizando la operación de división, 20x dividido por 5 lo convertían en un 4x (porque como sabes,”dividir es repartir”) y creaban una nueva operación que llamamos “simplificación”, y ¡bienvenido lo que hace algo más simple de lo que era!

Entonces debemos conocer lo mejor posible algo que transforme las sumas algebraicas (que pueden reducirse pero no simplificarse) en alguna forma de producto que permita esa posibilidad. Y ese algo es la “factorización”, a veces fácil de descubrir y otras veces no tan fácil.

¿Lo intentamos?

ÍNDICE

 1.- ¿A qué proceso se denomina “factorización”?
 2.- ¿Con qué fin se factoriza una expresión algebraica?
 3.- ¿Qué expresiones matemáticas pueden factorizarse?
 4.- ¿Qué dos teoremas fundamentales son aplicables aquí?
 5.-Entonces, ¿para qué puede servir factorizar un polinomio?
 6.- ¿Qué son los “casos de factoreo”?
 7.- ¿Cómo saber cuál de los casos es útil para resolver el factoreo de un polinomio?
 8.- Para n términos.
 9.- Para un polinomio de 2 términos.
10.- Para 2 términos que forman una “diferencia de cuadrados”.
11.- Para 2 términos que forman una “suma o diferencia de potencias de igual exponente”.
12.- Para 3 y 4 términos. Vista previa.
13.- Para 3 términos (I): trinomio cuadrado perfecto.
14.- Para 3 términos (II): ecuación de segundo grado.
15.- Para 4 términos (I): cuatrinomio cubo perfecto.
16.- Para un número no primo de términos (4,6,8,9…): Factor común en grupos.

Si te interesa tener este ebook en tu colección, te diré cómo. Envíame un email a danielgalatro@gmail.com o llena y remíteme el formulario de contacto que encontrarás en este mismo blog. Coloca en el asunto "matemáticas 5" y el país en el que vives para que pueda hacerte llegar las simples indicaciones de cómo lograrlo.

Estaré esperándote.

Prof. Daniel Aníbal Galatro

Esquel - Chubut - Argentina.

Ya pueden factorear mejor ese polinomio

¡Hola, amigos! Ya pasó a la última etapa de producción la Guía 5 de Matemáticas que trata de la Factorización de expresiones algebraicas. Y pude simplificar un poco esta tarea que parece muchas veces una labor de brujería.

No para encontrar factores comunes pero el asunto se va poniendo más difícil cuando pasamos a las diferencias de cuadrados, los trinomios cuadrados perfectos, los cuatrinomios cubos perfectos, las sumas y diferencias de potencias de igual exponente, los factores comunes en grupos,...

Pero si pude lograr creo que bastante, quizá más adelante encuentre otras recetas que ayuden todavía un poco más a los estudiantes que lo ven como una tragedia de la enseñanza media y una complicación para la matemáticas universitaria.

Ya pueden reservar su copia de la Guía.

Más datos, vía email a danielgalatro@gmail.com, que funciona mejor que el privado de Facebook cuando hay mucho tráfico.

Recuerden que el detalle del material disponible está en este mismo blog.

Los espero por allí.
Un saludo afectuoso

Prof. Daniel Aníbal Galatro
danielgalatro@gmail.com
Esquel - Chubut - Argentina
Marzo 24 de 2015.

Trabajando en la Quinta - Daniel Aníbal Galatro

¡Hola, amigos!

Aquí estoy, como Beethoven, siguiendo "La llamada del Destino", componiendo mi Quinta Guía de Matemáticas. No es con blancas y corcheas sino con polinomios y factores pero creo que hasta hoy es la que más esfuerzo me viene llevando.

Desde que recuerdo mis primeros tiempos aritméticos, los ejercicios combinados fueron los que me provocaron los traumas que me hicieron pensar que nunca podría aprender esas cosas. Cuando en Primer Año del IPR marplatense el Hermano Luciano Emilio, a quien apodábamos "El Croa" por su forma de hablar, comenzó a llenar el negro pizarrón con blancos paréntesis, corchetes y llaves, signos más y signos menos, potencias y raíces, oscuros nubarrones volaron hacia mi pupitre y se colocaron sobre los hasta entonces felices años escolares.

Y ocurrió la primer tragedia. El Luciano nos dio tres ejercicios que parecían interminables, inocentemente intenté resolverlos, los entregué, y ese señor delgado de sotana negra iluminó impiadosamente la hoja con tres soles muy redondos. Soles que no eran soles, que eran ceros, calificación hasta entonces desconocida por mí y que parecían tres pesadas cruces a cargar sobre mi bicicleta y trasladar por la calle Salta, primero, y finalmente por la Jujuy hasta el 1967 donde funcionaba el Tribunal de la Inquisición, es decir, mi madre querida.

El nene, la "gran esperanza" de la casa, el que siempre había estado en el Cuadro de Honor, regresaba de la escuela con tres ceros, uno en cada ejercicio, que implicaban un cuarto cero de promedio que quizá era acompañado por la palabra fatídica ("cero"). Y mi santa madre debía poner su "Margarita G. B. de Galatro" junto a todo eso para darse por notificada.

No voy a describir en detalle el drama griego que se inició cuando, luego de dejar la bici en el patio de abajo y subir los escalones de piedra hasta el departamento en que vivíamos, entré a la cocina como si levantara el telón de un escenario y mi madre inició el primer acto con su inocente y acostumbrado "¿Cómo te fue?".

A modo de síntesis diré que los hechos y decires posteriores me convencieron de que era fundamental que aprendiera esas artes matemáticas pues, como dije, vivíamos en un primer piso y unos cuantos errores de cálculo no justificaban que mi progenitora se arrojara por la ventana o me lanzara a mí.

Poco a poco lo fui superando y no me llevó demasiado tiempo, apenas un par de semanas. Los ceros ya no regresaron a mis exámenes. El Luciano lo había logrado con esas circunferencias que resultaron ser, ciertamente, inolvidables soles en el camino de mi aprendizaje.

Pero hubo otra etapa ríspida un par de años después, ya no bajo la dirección del mismo maestro. Creo que esta vez fue el Hermano Bernardo el que tuvo a su cargo enseñarnos el asunto de los polinomios, secuencia de términos convenientemente sumados y/o restados. Todo iba bien hasta que llegamos a unas operaciones llamadas por entonces "factoreos" y hoy "factorización", que viene a ser lo mismo.

Supuestamente para hacer las cosas más simples, es decir, para "simplificar", tipos como Newton, Ruffini, Pascal y otros cuantos demonios habían decidido que había que, cuando fuera posible, convertir esas inocentes sumas y restas de términos que sólo podían reducirse en productos y cocientes, esto es, los sumandos, minuendos y sustraendos en poderosos factores que tenían la posibilidad de simplificarse. Y no fue fácil comenzar a hacerlo en Mar del Plata durante mi Tercer Año de Perito Mercantil ni terminar de aprenderlo en La Plata en el 63 en las clases de Álgebra, Cálculo Numérico y Geometría Analítica del profesor Di Caro.

Más de medio siglo después, cuando entendí que era tiempo de volcar las pocas o muchas cosas aprendidas durante toda una vida para intentar ayudar a quienes se están iniciando, aparece una Guía de Matemáticas, la Quinta porque hubo cuatro antes, en la que transfiero recetas, ajenas las más y propias las menos, para encontrar factores comunes o reconocer si un trinomio es cuadrado perfecto o transformar el aspecto polinómico de una ecuación de segundo grado en una presentación factorizada aprovechando sus raíces. Y así descubrir para mí que, como todo en Matemáticas, son cosas muy sencillas que así lo parecen si uno las conoce pero que no se ven así cuando uno las desconoce.

Todavía no he terminado el librito que trata este tema de la factorización y creo que llevará un par de días más, especialmente para incorporarle ciertos secretos que han dado buenos resultados durante largos años de enseñanza. Pero, aunque no trate de andanzas de "Harry Potter" aunque podrían serlo por sus ingredientes cuasi-mágicos, ya pueden ir averiguando sobre este material vía email a danielgalatro@gmail.com

Los dejo por ahora y me pongo a explicar cómo reconocer si un cuatrinomio es o no cubo perfecto y cosas de esa índole, para que la Guía 5, mi Quinta Sinfonía matemática, con los aciertos que pretendo que aporten y con los errores que necesariamente se filtrarán.

Un saludo afectuoso.

Prof. Daniel Aníbal Galatro
danielgalatro@gmail.com
Marzo 22 de 2015
Esquel - Chubut - Argentina