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Universos y Multiverso 9 - por Daniel Aníbal Galatro

¡Hola, amigos!

Según los calendarios que usamos habitualmente, estamos en un nuevo año. Será 2015, será 5775, será lo que crean oportuno, pero seguimos festejando el fin de algo porque podíamos no haberlo terminado y la llegada de algo porque podíamos no haberlo comenzado. Y si estuviésemos en prisión seguramente habríamos tachado una línea para dejarlo registrado.

Prosigamos nuestra investigación acerca del Universo, de los Universos o del Multiverso que, al igual que un cóctel, hace de todos uno como si fueran infinitos mosqueteros del rey inmortalizados por Alejandro Dumas.

Hoy no trajimos un invitado "en vivo virtual". Porque al tiempo de salir a procurarlo nos cruzamos con una monografía intitulada, "El Universo", publicada en monografias.com tras el link:

http://www.monografias.com/trabajos/eluniverso/eluniverso.shtml?utm_source=Newsletter&utm_medium=email&utm_campaign=07-ene-15

Figura como autor del trabajo alguien llamado "Gran Bonsai - Por Contralmirante WILLIAM PORRAS FERREIRA".

Aquí transcribiré algunos párrafos pero los invito a leer el material completo en el sitio indicado. Inicia el autor diciendo...

"Desde los inicios de los primeros cosmólogos Sócrates y Platón que contemplando el sol, la luna y las estrellas se preguntaban: qué somos, de donde venimos, a dónde vamos; pasando por Aristóteles, Kepler, Lemaitre, quienes descubrieron las primeras leyes que rigen los movimientos de nuestro sistema solar, hasta Newton, Einstein, Hubble, Sandage, Zeldovich, Hawking, y otros que han contribuido con sus teorías y descubrimientos para determinar que el universo está en expansión, continuamente el hombre ha querido encontrar el origen del universo, si pertenecemos a un sistema cerrado o abierto y si este Universo algún día, dentro de miles de millones de años, lanzará su último suspiro para dejar de existir.

Teorías, se han escrito muchas, algunas ya han desaparecido, otras han resistido las críticas y análisis de la comunidad de científicos o aún cuentan con adeptos y las teorías más audaces aún persisten, aunque el único seguidor sea su expositor. Bueno al fin de cuentas todo el mundo tiene derecho a exponer sus ideas. Cuando Einstein, con su pensamiento puro, expuso la Teoría de la Relatividad, nadie se lo creyó y solo el tiempo y comprobaciones científicas le dieron la razón.

EL UNIVERSO EN EXPANSION

La teoría que más adeptos tiene y que en cierta forma se ha podido comprobar como lo veremos más adelante, es que el Universo en su comienzo se formó de una Gran Explosión, la cual envió materia en todas las direcciones y a medida que se enfriaba y se expandía se formaban las estrellas, galaxias, cúmulos y supercúmulos. Esto en cierta forma se ha podido comprobar con las observaciones hechas en el presente siglo desde Edwin Hubble, quien con sus observaciones astronómicas publicadas en 1929, descubrió que las galaxias se estaban alejando unas de otras con velocidades constantes y entre más alejadas estuvieran, mayor velocidad tenían, llegando a determinar que en un comienzo, toda la materia debía existir junta y debido a esa Gran Explosión, actualmente las galaxias se alejan entre sí.

Alan Guth con su teoría de la inflación en 1979, logró crear un modelo matemático que describía la creación del Universo prácticamente de la nada. Según él, el Universo había comenzado de una bola de fuego de energía perfecta con una temperatura casi infinita . En el espacio-tiempo la temperatura bajó a menos de 1026°K, el punto en la cual rompería la simetría de la gran unificación. Pero en lugar de esto, el campo de Higgs se estancó y una pequeña partícula del tamaño de un protón se superenfrió; dentro de este espacio estaba el equivalente de 10 kilos de falso frío (la energía latente de Higgs).

Esta energía que se radiaba hacia afuera con fuerza superexplosiva, empezó a expandirse en forma exponencial. Cada 10-34 segundos la burbuja alcanzaba un doble tamaño y la energía se multiplicaba por ocho. En el momento en que la burbuja alcanzaba el tamaño de una bola de tenis (desde su original del protón), se rompió la simetría en algún lugar de la burbuja en inflación, el campo de Higgs se congeló y aparecieron pequeñas bolsas de vacío auténtico. Los vacíos auténticos se precipitaron hacia fuera a través del universo inflado. Dentro de ellos a medida que se rompía la simetría y que el falso vacío se desintegraba dando el vacío real, la energía de Higgs se condensaba en materia y radiación reales. 

Era la materia y energía que algún día se convertiría en hidrógeno, helio, estrellas, galaxias, cúmulos, supercúmulos y sistema solar con la raza humana en la Tierra.

La inflación -proclamó Guth- ofrece quizá la primera explicación científica de la creación de casi toda la materia y energía del Universo.

EL UNIVERSO SIN LIMITES

Prácticamente para determinar si el universo tiene límite, se debe comprobar si es abierto o cerrado, si el espacio-tiempo que se imaginó Einstein es curvado, si existe la suficiente fuerza de gravedad que vaya contrarrestando gradualmente la fuerza de expansión del Universo hasta detenerla y si esta fuerza logra romper el equilibrio para hacerlo contraer hasta sus orígenes.

Según la ecuaciones de Friedmann, sobre el universo en expansión, existe una densidad crítica de masa y energía que equivale a un átomo de hidrógeno por metro cúbico. Si el universo es más denso dejará de expandirse, si es menos denso, continuará eternamente en expansión. Esto se ha representado por la letra Omega (la última del alfabeto griego), dándole un valor de uno. Si omega es mayor que uno tendremos un Universo finito, si es menor que uno, sería infinito y si es igual a uno, existiría un equilibrio en un tiempo prácticamente infinito.

Ante la perspectiva de encontrar omega, los científicos se dieron a la tarea de calcular cuánto hidrógeno existía por metro cúbico en el Universo, habiendo encontrado que sólo existía 0.1 átomos por metro cúbico, es decir, solo el 10% de la masa necesaria para que el universo dejara de expandirse eternamente.

Posteriores investigaciones sobre el movimiento de galaxias, con el avance de la ciencia, observando los desplazamientos hacia el rojo de las velocidades de ellas, han permitido determinar que hay ciertas irregularidades que solo pueden ser explicadas con la existencia de grandes cantidades de materia inerte, fría y obscura alrededor de las galaxias con masa muy superior a ellas y que podrían contener el 90% de la masa faltante para cerrar el Universo.

Las últimas investigaciones, han detectado la existencia de corrientes y desplazamiento hacia determinadas direcciones. Por ejemplo toda la Vía Láctea es atraída por el cúmulo de Virgo y todo el supercúmulo de Virgo es atraído en la dirección general Hidra-Centauro a unos 600 kilómetros por segundo. 

Según los científicos, esto es posible con la existencia de grandes masas frías y obscuras, no visibles por otros medios, pero con el efecto de su inmensa gravedad hacen posible la atracción de galaxias y cúmulos completos, haciéndoles desplazar en una determinada dirección."

Bien, creo que para calentar el ambiente, esto es, despertar el interés en ustedes, lo transcrito es más que suficiente. Ahora, como anticipé, los invito a realizar una lectura completa del trabajo. Y a tener en cuenta la bibliografía pues, como decía mi profesor Pedro Aymonino, "Los alumnos mediocres estudian por apuntes. Los buenos alumnos estudian por libros."
Añado un link más:

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos/eluniverso/eluniverso.shtml?utm_source=Newsletter&utm_medium=email&utm_campaign=07-ene-15#ixzz3OFjwJ1ta
y me despido hasta el próximo encuentro.

Daniel Aníbal Galatro
Enero 8 de 2015
Esquel - Chubut - Argentina


Una propuesta interesante - Entrevista


Entrevistamos al profesor Daniel Galatro, radicado desde hace unos años en la hermosa ciudad de Esquel, provincia del Chubut, Patagonia argentina, donde dirige el Complejo Cultural virtual que lleva su apellido en Internet.

Con el comienzo del 2015 y habiendo entrado en su septuagésimo primer año de vida, puso en acción un proyecto original sobre el que deseábamos realizarle algunas preguntas. Es que nos pareció que tenía aspectos tan novedosos que era necesario analizarlos con algún detalle.
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-¿Qué tienen algunas materias de estudio que hace que muchos estudiantes las vean casi siempre como con una especial dificultad a superar?

- Desde hace seguramente siglos que asignaturas como Matemáticas y Física son vistas por la mayoría de los alumnos secundarios y universitarios como obstáculos que entorpecen su tránsito por las aulas.
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-¿Cree usted que esa dificultad especial es propia de esas materias?

-Cuando se trata de ciencias exactas que deben ser afrontadas por alumnos inexactos se produce un choque casi siempre desagradable. Alguien que está atravesando un período de socialización en el que se lo ha preparado para enfrentar situaciones de la vida siente que es lanzado a un ruedo en el que se manejan otros conceptos tales como la precisión, la exactitud, el rigor racional y cosas así.

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-¿Y cómo puede superarse esa transición?

-Siendo el desarrollo humano actual como parece que es y seguirá siendo, quien desea participar exitosamente en el futuro debe amigarse con un mundo en el que la ciencia y la tecnología tienen un papel preponderante. “Quien no sabe computación es un nuevo analfabeto” decían allá por los ‘80s”.

Por supuesto, era una exageración sustentada por los que apoyaban esas nuevas industrias, pero su pronóstico pegó en la gente porque en todas las actividades aparecían elementos como los chips, las PC, etc. con la que los antiguos protagonistas debían amigarse para no quedar fuera.

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-¿Cómo debió adaptarse la capacitación para que esos alumnos inexactos fueran dejando de serlo?

-Lamentablemente el proceso comenzó desde arriba hacia abajo. En Japón se pudo seguir ese proceso. Unas pocas universidades de ese país formaban líderes exitosos que irían a capitanear los nuevos desarrollos. Entonces esos centros de estudio eran los más buscados por los aspirantes. Pero las vacantes disponibles allí no eran muchas, por lo que se generaron exámenes de ingreso muy duros para asegurar una selección adecuada.

Estos exámenes solamente podían pretender aprobarlos alumnos egresados de escuelas secundarias de alto nivel, que también eran pocas y muy buscadas, por lo que entrar a una escuela de ésas obligaba a superar un examen de ingreso muy riguroso. Y esa posibilidad la tenían quienes provenían de escuelas primarias de alto nivel, que solamente tomaban a niños que aprobaban una selección también compleja que ponía el problema en un “nivel cero”: exámenes de ingreso difíciles para poder asegurar una formación especial a nivel “jardín de infantes”. 

Este monumental “embudo” que llevaba a un proceso de descarte que aseguraba un puñado de egresados brillantes en los niveles máximos a través de pasos que dejaban millones fuera de esa posibilidad, motivó que la exigencia se invirtiera. La atención comenzó a centrarse en las etapas desde abajo hacia arriba y aún no se ha optimizado pero se observó que el rigor mayor no era suficiente. Y se comenzó a seguir más de cerca la formación de maestros y profesores.

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-¿Ocurrió lo mismo en otros países?

-No. Países como Japón son “hijos del rigor” y sus habitantes se adaptan a procesos duros como el que le describí porque saben desde hace siglos que su supervivencia depende de su competitividad como sociedad. Hoy son líderes en empresas de todo el mundo. Pero muchos otros países han apostado por razones políticas a la cantidad y no a la calidad, y permanentemente bajan el nivel de exigencias para que más habitantes “parezcan estar capacitados”. Escuelas de todo tipo “contienen” estudiantes que, sepan mucho o sepan poco, terminarán “recibiéndose de algo” y generalmente estarán muy lejos de poder disponer de las capacidades requeridas para competir en el mundo.

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-¿Y cuál será su destino?

-Individualmente deberán completar sus conocimientos en algún tema para aspirar a tener algún lugar medianamente digno en el que desarrollarse y sobrevivir. O emigrarán hacia otros lugares en los que puedan mostrar su real valor. Colectivamente como país serán víctimas necesarias del progreso de los líderes del mundo.

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-¿Qué puede sugerir a quienes aspiran a un mejor nivel de vida?

-En primer lugar deben asumir que no basta estar en una competencia si no se dispone de un entorno que comprenda que el secreto es el nivel de la misma. Y para ser “de primera” hay que acostumbrarse a autoexigirse y a exigir al resto. La valoración de un individuo debe estar relacionada con sus dones personales y, entre esos dones, no debe faltar el nivel de sus conocimientos. Eso requiere un sistema educativo-capacitativo con recursos humanos y materiales adecuados a los objetivos a lograr. En muchos países debe cambiarse la “mentalidad” de los familiares y docentes de quienes son el sujeto y el objeto de la educación en el hogar y de la formación en la escuela y la universidad.

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-¿Y cómo tiene relación esta filosofía que me ha explicado con su nueva técnica de enfrentamiento con las dificultades que provocan las ciencias tales como las Matemáticas y la Física?

-Como no me ha sido posible participar en forma trascendente de lo que concierne a la enseñanza de esas y otras asignaturas, pude lograr pequeñas modificaciones en sus enfoques desde hace cincuenta años como docente secundario y universitario en las aulas tradicionales pero siempre quedé insatisfecho. Y desde el lejano comienzo en la década de los ‘60s” trabajé en estructuras paralelas, esto es, en institutos privados en los que tenía funciones docentes y directivas. Eso me permitió lograr, casi siempre con éxito, aplicar mis conceptos muchas veces plenamente compartidos por mis colegas. Y hoy desde aquí, en este espacio que la Internet me posibilita, intento abrir algún nuevo camino.

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-¿En qué consiste?

-Básicamente en un sistema de Guías de apoyo que provean conocimientos algo más que elementales en Matemática y en Física. Lo que un estudiante debe “venir sabiendo” antes de emprender una nueva etapa en los niveles medio (secundario) y universitario. 

Pero no solamente darle información sino acompañarlo en su proceso de comprensión de la importancia de estas materias en la evolución de la Humanidad. Porque motivarlo para que quiera saber más y mejor es un ingrediente fundamental. Estas Guías son un aporte pero la idea es que se reproduzcan y circulen por el mundo para que logren un efecto más significativo. Y, por supuesto, muchos colegas deberán participar aplicando esta idea u otras que consideren más eficaces.

El problema a superar era solamente buscar envases más atractivos para todas y cada una de las “materias” y dediqué mucho de mi vida a participar de su creación.

Las Guías que ya están circulando han demostrado que el producto es bueno. Pero también se aprecia el efecto limitante de las palabras “Matemáticas” y “Física”. Son apreciadas más por quienes saben del tema que por quienes constituyen el gran objetivo: el común de los estudiantes.

El contenido está aceptable, el envase nuevo en forma de Guías también lo está. Lo que quedaba era la distribución. ¿Podía este proyecto convertirse además en un buen negocio?

Creo que un rendimiento aceptable para mí y mi equipo puede lograrse aplicando a cada Guía un costo de unos pocos dólares cada ebook. Como libro electrónico es sencillo y sin costo hacerlo llegar a la computadora del interesado. ¿Podré ubicarlo para 1.000 de esos interesados? ¿Para 10.000? Pero si bien me compensaría en lo personal no tendría el efecto multiplicador que realmente pretendo.

Entonces, ¿por qué no “abrir” el archivo para así “abrir” el negocio e incorporar cientos o miles de imitadores que no necesariamente puedan estar interesados en las materias que hoy abarca y en las que podrá abarcar en el futuro?

Si alguien adquiere una Guía en x dólares y la recibe “abierta” en su PC sin que tenga “derechos de autor”, puede vender un ejemplar a otro y recuperar la inversión. O puede vender 10 ejemplares a x dólares cada uno y así ganar 9x. O puede vender…

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-Suena interesante…

-¿Verdad que sí? Y pese a que con un archivo “cerrado” controlaría las ventas, lo que no me interesa por ahora, de este modo reforzaría el efecto de mi nombre en la Internet, lo que me abrirá otras puertas. Seguramente en esta etapa obtendrán más beneficios económicos mis revendedores que yo, pero mis conceptos llegarán a muchos más lectores.

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-¿Qué tengo que hacer para probar si funciona?

-Comenzar comprando una copia de alguna de las Guías (o de más de una). Con el archivo ya en tu PC buscar en Internet interesados en comprarte copias a ese precio o al que creas más “vendedor”. Vendérselas y cobrárselas. Y si no sabes cómo lograrlo siempre estaré para asesorarte. Así de simple, aunque requerirá de tu inteligencia y creatividad.

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-¿Puedo hacerlo ya mismo?

-Sí. Su aplicación se inició con el comienzo del año 2015 y toda información adicional previa puedes obtenerla vía email a danielgalatro@gmail.com , o danielgalatro44@yahoo.com , o visitando el blog http://conceptosdefisica.blogspot.com


Para pensarlo,¿verdad?
Y oportunidades así rara vez se dan.

Sorprendentes fotografías históricas 2


Bill Gates (William Henry Gates III) es hoy un famoso empresario estadounidense. Nació en Seattle, Washington, en 1955, en una familia acomodada que le proporcionó una educación en centros de elite como la Escuela de Lakeside (1967-73) y la Universidad de Harvard (1973-77).
Sería en 1977, según los datos provistos por la fotografía que acompañamos, cuando fue atrapado conduciendo sin licencia, y así registrado como infractor. Ya por entonces tenía su domicilio fijado desde 1975 en Alburquerque (Nuevo México) y había fundado en 1976 su propia empresa de producción de software informático, Microsoft Corporation, con Bill Gates como presidente y director general. Su negocio consistía en elaborar programas adaptados a las necesidades de los nuevos microordenadores y ofrecérselos a las empresas fabricantes más baratos que si los hubieran desarrollado ellas mismas.

Fotografías enviadas por George Winch.
Comentadas por Daniel Aníbal Galatro.
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Sorprendentes fotografías históricas 1


Arnold Alois Schwarzenegger nació el 30 de julio de 1947 en Graz, Estiria, Austria.
Ex fisicoculturista, actor y político nacionalizado estadounidense, ejerció como trigésimo octavo gobernador del estado de California desde 2003 hasta 2011.
Ganó fama en todo el mundo como un icono de las películas de acción de Hollywood, fue apodado "el roble austríaco" y "el roble de Estiria" en sus días de culturismo, "Arnie" durante su carrera como actor y más recientemente "el Governator" (una contracción de Governor y Terminator).
Schwarzenegger se trasladó a Estados Unidos en septiembre de 1968 con veintiún años.
A su llegada por primera vez a Nueva York ese año le fue tomada la fotografía que mostramos.

Fotografías enviadas por George Winch.
Comentadas por Daniel Aníbal Galatro
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Cuestionario-guía de Física básica


¡Hola, amigos!
Ahora le ha correspondido el turno a la Física y a quienes quieren conocerla un poco (o un poco más). 
Aquí están los temas que estimo son básicos en esta disciplina para quienes están en los finales del nivel secundario o principios del nivel terciario.
Por supuesto, faltan muchas cosas. Por supuesto, hay algunas preguntas por aquí que exceden el nivel básico. Pero la intención ha sido la mejor.
Comentarios y consultas, como siempre, a mi mail: danielgalatro@gmail.com
Y el deseo de que tengan el mayor de los éxitos en estos primeros pasos de la eterna aventura de conocimiento.
Un saludo afectuoso
Prof. Daniel Aníbal Galatro
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CUESTIONARIO-GUÍA
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Nivel inicial
2013 – Prof. Daniel Aníbal Galatro
Esquel – Chubut – Argentina
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1 – CONCEPTOS GENERALES

1- ¿Qué estudia la Física? (physis = naturaleza)
2- ¿Por qué la Física es una ciencia experimental?
3- ¿Qué es “medir”?
4- ¿Qué es el “metro patrón”?
5- ¿Cuál es la unidad patrón del tiempo y cómo se define?
6- ¿Cuál es la unidad patrón de la masa y cómo se define?
7- ¿Cuál es la unidad patrón de la temperatura y cómo se define?
8- ¿Cuál es la unidad patrón de la intensidad de corriente eléctrica y cómo se define?
9- ¿Cuál es la unidad patrón de cantidad de moléculas y cómo se define?
10- ¿Cuál es la unidad patrón de intensidad luminosa y cómo se define?
11- ¿Cuál es la diferencia entre “precisión” y “exactitud”?
12- Definir: a) recta, b) semirrecta, c) segmento, d) vector.
13- ¿Cómo se suman dos vectores?

2- CINEMÁTICA

14- ¿Cuándo un cuerpo se mueve?
15- ¿Cuándo un objeto se considera “partícula”?
16- ¿Qué es el vector “desplazamiento”?
17- ¿A qué se llama “velocidad media”? Unidades.
18- ¿A qué se llama “rapidez”? Unidades.
19- ¿A qué se llama “velocidad instantánea”? Unidades.
20- ¿A qué se llama “aceleración”? Unidades. (“cambio”).
21- ¿Qué elementos de la velocidad pueden cambiar?
22- ¿Cuándo un movimiento se llama “rectilíneo”?
23- ¿Cuándo un movimiento se llama “uniforme”?
24- ¿Cuándo un movimiento se llama “uniformemente acelerado”?
25- ¿A qué se llama “caída libre”?
26- ¿Qué creía Galileo Galilei respecto de la forma en que caen los cuerpos?
27- ¿Qué es constante e independiente del peso en la caída de un cuerpo?
28- ¿A qué llamamos “g” y cuál es su valor?
29- ¿Por qué la masa de un cuerpo es constante pero su peso no lo es?
30- ¿A qué se llama “tiro vertical”?
31- ¿Qué signo tiene la aceleración de la gravedad en una caída libre y qué signo tiene en un tiro vertical?

3 – MOVIMIENTOS EN EL PLANO

32- ¿Cuándo podemos considerar que un cuerpo se mueve en una recta (unidimensional)?
33- ¿Cuándo podemos considerar que un cuerpo se mueve en un plano (bidimensional)?
34- ¿De qué depende el vector “desplazamiento”?
35- ¿A qué se llama “tiro oblicuo”?
36- ¿En qué dos movimientos se descompone el tiro oblicuo y cómo es cada uno de ellos?
37- ¿A qué se llama “seno” de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo?
38- ¿A qué se llama “coseno” de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo?
39- ¿A qué se llama “tangente” de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo?
40- ¿Qué expresa el teorema de Pitágoras?
41- ¿A qué ángulo inicial de lanzamiento corresponde el mayor alcance en un tiro oblicuo?
42- ¿Por qué el alcance de un cuerpo lanzado con un ángulo de 30° es el mismo que el de un cuerpo lanzado a 60°?
43- ¿Cómo es la trayectoria en un movimiento circular?
44- ¿Cuándo un movimiento circular se llama “uniforme”?
45- ¿A qué se llama “velocidad angular”? Unidades.
46- ¿A qué se llama “período” en un movimiento circular? Unidades.
47- ¿A qué se llama “frecuencia” en un movimiento circular? Unidades.
48- ¿Cuál es la relación entre “período” y “frecuencia”?
49- ¿Cuántas velocidades pueden calcularse en un movimiento circular y cuáles son?
50- ¿Por qué en un movimiento circular aparece una tercera aceleración?
51- ¿A qué se llama “aceleración centrípeta o radial”? Unidades.
52- ¿Qué aceleraciones valen cero si el movimiento circular es uniforme?

4- ESTÁTICA Y DINÁMICA

53- ¿Qué expresa la primera ley de Newton? (1686)
54- ¿Qué expresa la segunda ley de Newton?
55- ¿Qué expresa la tercera ley de Newton?
56- Explicar el corolario de las leyes de Newton que expresa que “un cuerpo sobre el cual actúan dos fuerzas simultáneamente describirá la diagonal de un paralelogramo en el mismo tiempo que describiría los lados del mismo mediante la acción de esas fuerzas por separado”.
57- ¿A qué se llama “inercia” de un cuerpo?
58- ¿Cómo llamamos la medida de la “inercia” de un cuerpo? Unidades.
59- ¿A qué se llama “fuerza”? Unidades.
60- ¿Por qué puede decirse que la fuerza es la causa y la aceleración es el efecto?
61- ¿Qué relación existe entre fuerza, masa y aceleración?
62- ¿A qué se llama “peso” de un cuerpo? Unidades.
63- ¿Qué era la “atracción gravitacional” para Newton?
64- ¿De qué factores depende la aceleración de la gravedad en un punto?
65- ¿A qué se llama “fricción” o “roce” y cuál es su causa?
66- ¿Cuál es la causa de fricción cuando un objeto atraviesa un líquido?
67- ¿Qué dos tipos de rozamiento existen y por qué? Unidades.
68- ¿Qué es el “coeficiente de rozamiento” y de qué depende? Unidades.
69- ¿Puede decirse que en un plano inclinado el coeficiente de rozamiento es igual a la tangente del ángulo de inclinación del plano?
70- ¿Cuándo se dice que una partícula está “en equilibrio”?
71- ¿Puede una partícula estar en equilibro sin estar en reposo?
72- ¿A qué se llama “momento” (torque) de una fuerza? Unidades.
73- ¿Cuál es el efecto que produce el momento de una fuerza?
74- ¿A qué se llama “cupla” (par) de fuerzas y qué efecto produce?
75- ¿A qué se llama “centro de gravedad”?
76- ¿A qué se llama “centro de masa”?
77- ¿Qué ocurre cuando el campo gravitacional es uniforme?
78- ¿Qué fuerzas deben tenerse en cuenta al estudiar el movimiento de objetos sobre un plano inclinado? ¿Cómo se calcula cada una de ellas?
79- ¿Qué es la “fuerza centrípeta” y qué relación tiene con la velocidad tangencial y con el radio de la circunferencia que describe el cuerpo?
80- ¿A qué se llama “peralte” y cuál es su función?
81- ¿Cómo se calcula la fuerza de atracción entre dos partículas?
82- ¿Cuál es la causa de que en los océanos se produzcan “mareas”?
83- ¿Qué expresan las tres leyes de Kepler?

5 – TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA

84- ¿Cuándo una fuerza realiza “trabajo”? Unidades.
85- ¿Cuánto vale el trabajo de una fuerza perpendicular a la dirección de desplazamiento?
86- ¿El “trabajo” es una magnitud escalar o vectorial?
87- ¿A qué se llama “potencia”? Unidades.
88- ¿A qué se llama “energía”? Unidades.
89- Mencionar algunas formas conocidas de manifestarse la energía.
90- ¿Qué energías interesan cuando se estudia la Mecánica?
91- ¿A qué se llama “energía potencial” y cómo se calcula?
92- ¿A qué se llama “energía cinética” y cómo se calcula?
93- ¿Cuándo una fuerza se considera “conservativa” y cuándo se considera “disipativa”?
94- ¿Por qué la fuerza de gravedad es conservativa?
95- ¿A qué se llama “energía mecánica total” y cuál es su valor?
96- ¿A qué se llama “máquina”?
97- ¿A qué se llama “ventaja mecánica” de una máquina?
98- ¿A qué se llama “palanca”?
99- ¿Cuál es la condición de equilibrio de una palanca?
100- ¿Cuáles son los tres tipos o géneros de palancas?
101- ¿A qué se llama “torno”?
102- ¿Cuál es la condición de equilibrio de un torno?
103- ¿A qué se llama “polea”?
104- ¿Cuándo una polea se considera “fija”?
105- ¿Cuánto vale la ventaja mecánica en una polea fija?
106- ¿Cuál es la condición de equilibrio de una polea fija?
107- ¿Cuándo una polea se considera “móvil”?
108- ¿Cuánto vale la ventaja mecánica de una polea móvil?
109- ¿A qué se llama “aparejo”?
110- ¿Cuándo un aparejo es “potencial”?
111- ¿Cuál es la condición de equilibrio de un aparejo potencial?
112- ¿Cuándo un aparejo es “factorial”?
113- ¿Cuál es la condición de equilibrio de un aparejo factorial?
114- ¿Cuál es la condición de equilibrio de un plano inclinado?

6- IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

115- ¿A qué se llama “impulso”? Unidades.
116- ¿A qué se llama “cantidad de movimiento”? Unidades.
117- ¿El “impulso” y la “cantidad de movimiento” son unidades escalares o vectoriales?
118- ¿Puede decirse que impulso y cantidad de movimiento son valores equivalentes?
119- ¿Qué expresa el principio de la conservación del momento lineal?
120- ¿Qué dos tipos de “choque” se estudian?

7- CUERPOS RÍGIDOS EN ROTACIÓN

121- ¿A qué se denomina “momento de inercia” de un cuerpo respecto al eje alrededor del cual rota?
122- ¿Qué relación hay entre “momento de inercia” y “masa”?

8- ELASTICIDAD

123- ¿Qué expresa la Ley de Hooke?
124- ¿A qué se llama “esfuerzo”?
125- ¿Qué tres tipos de esfuerzos se estudian?
126- ¿A qué se llama “elasticidad”?

9- MOVIMIENTO OSCILATORIO

127- ¿A qué se llama “movimiento oscilatorio”?
128- ¿Cuándo un movimiento oscilatorio se llama “armónico simple” y cuándo se llama “armónico amortiguado”?
129- ¿A qué se llama “período” en un movimiento armónico simple?
130- ¿A qué se llama “frecuencia” en un movimiento armónico simple?
131- ¿Qué relación existe entre “período” y “frecuencia”?
132- ¿A qué se llama “elongación”?
133- ¿A qué se llama “amplitud”?
134- ¿Cómo son las energías cinética y potencial en el movimiento armónico simple?
135- ¿A qué se llama “péndulo”?
136- ¿Cuál es la fórmula general para un péndulo?
137- ¿Por qué puede usarse un péndulo para conocer el valor de g en un lugar?
138- ¿Cuándo dos cuerpos están “en resonancia”?

10- MECÁNICA DE FLUIDOS

139- ¿A qué se llama “fluido”?
140- ¿A qué se llama “densidad”? Unidades. ¿Es constante o variable?
141- ¿A qué se llama “peso específico”? Unidades. ¿Es constante o variable?
142- ¿A qué se llama “presión”? Unidades.
143- ¿Cuánto vale la presión atmosférica normal a nivel del mar a) en atmósferas, b) en pascales, c) en hectopascales, d) en mm Hg (torr)?
144- ¿Pueden corresponder iguales presiones a diferentes fuerzas?
145- ¿Pueden corresponder iguales fuerzas a diferentes presiones?
146- ¿De qué depende el valor de la presión en un punto del interior de un fluido?
147- ¿Qué expresa el principio de Pascal?
148- ¿A qué se llama “prensa hidráulica” o “gato hidráulico” y cuál es su condición de equilibrio?
149- ¿Qué es un “barómetro”?
150- ¿Qué es un “manómetro”?
151- ¿Cuáles son la dirección y el sentido de la fuerza ejercida por un líquido contra las paredes del recipiente que lo contiene?
152- ¿A qué se llama “empuje”?
153- ¿Qué expresa el principio de Arquímedes?
154- ¿Qué es la “hidrostática” y qué es la “hidrodinámica”?
155- ¿Cuándo un fluido se considera “ideal”?
156- ¿A qué se llama “línea de flujo”?
157- ¿Cuándo un flujo se dice “estacionario” y cuándo se dice “turbulento”?
158- ¿Qué expresa la “ecuación de continuidad”?
159- ¿A qué se llama “gasto” o “caudal”?
160- ¿Qué expresa la ecuación de Bernoulli?
161- ¿Qué expresa el teorema de Torricelli?
162- ¿Qué es un tubo de Venturi y para qué se utiliza?
163- ¿Cómo se produce la sustentación de las alas de un avión?

11- TEMPERATURA Y CALOR

164- ¿A qué se llama “energía térmica”?
165- ¿A qué se llama “calor”?
166- ¿A qué se llama “temperatura”?
167- ¿Cuáles son las principales escalas de temperatura y qué relación hay entre ellas?
168- ¿A qué se llama “dilatación?
169- ¿Qué es el “coeficiente de dilatación” de un material?
170- ¿Qué tres tipos de dilatación suelen estudiarse y cuáles son sus fórmulas?
171- ¿Cómo varía la densidad con la variación de temperatura?
172- ¿Cómo es el caso de la dilatación del agua?
173- ¿Qué es un “termostato” y para qué se utiliza?
174- ¿Qué es la “cantidad de calor”? Unidades.
175- ¿A qué se llama “calor específico”? Unidades.
176- ¿A qué se llama “capacidad calorífica”? Unidades.
177- ¿Qué es el “equivalente mecánico del calor” y cuánto vale? (Joule 1850)
178- ¿Qué relación existe entre “calor” y “energía interna”?
179- ¿A qué cambio de estado corresponde cada uno de estos conceptos: a) sublimación, b) evaporación, c) fusión, d) condensación o licuefacción, e) solidificación?
180- ¿Qué ocurre con la temperatura de un cuerpo cuando se encuentra en su punto de fusión o de ebullición?
181- ¿A qué se llama “humedad”? Unidades.
182- ¿Cómo se transmite el calor por conducción?
183- ¿Cómo se transmite el calor por convección?
184- ¿Cómo se transmite el calor por radiación?
185- ¿Qué expresa la ley de enfriamiento de Newton?
186- ¿Por qué el dióxido de carbono de la atmósfera provoca el “efecto invernadero”?

12- GASES

187- ¿Qué expresa la ley de Boyle?
188- ¿Qué expresa la ley de Gay-Lussac?
189- ¿Qué expresa la ley de Avogadro?
190- ¿Cuántas moléculas hay en un mol de cualquier gas? (Perrin)
191- ¿Qué expresa la ecuación de estado de un gas ideal?
192- ¿Qué causa la presión según la Teoría Cinética de los Gases?

13- TERMODINÁMICA

193- ¿Qué estudia la Termodinámica?
194- ¿A qué se llama “proceso cíclico”?
195- ¿A qué se llama “sistema aislado”?
196- ¿A qué se llama “proceso adiabático”?
197- ¿A qué se llama “proceso isovolumétrico”?
198- ¿A qué se llama “proceso isobárico”?
199- ¿A qué se llama “proceso isotérmico”?
200- ¿Qué relación puede establecerse entre “entropía” y “desorden”?

14- MOVIMIENTO ONDULATORIO

201- ¿A qué se llama “onda”?
202- ¿Cómo pueden ser las ondas en relación con la dirección del movimiento del medio en el que se trasladan?
203- ¿Cuándo una onda es “periódica”?
204- ¿Qué es el “período” de una onda?
205- ¿Qué es la “frecuencia” de una onda?
206- ¿Qué es la “longitud” de una onda?
207- ¿Qué relación hay entre la frecuencia de una onda y su longitud?
208- ¿Qué ecuación describe el movimiento de una onda?
209- ¿Qué fórmula permite calcular la velocidad de propagación de una onda transversal en una cuerda?
210- ¿Qué fórmula permite calcular la velocidad de propagación de una onda longitudinal?
211- ¿De qué depende la velocidad de propagación de una onda?
212- ¿A qué se denomina “reflexión” de una onda y qué características tiene?
213- ¿A qué se denomina “refracción” de una onda y qué características tiene?

15- SONIDO

214- ¿A qué se llama “sonido”?
215- ¿Qué requiere indispensablemente una onda mecánica para propagarse?
216- ¿Son todos los sonidos producidos por objetos materiales que vibran?
217- ¿A qué llamamos “velocidad” de un sonido? Unidades.
218- ¿A qué llamamos “intensidad” de un sonido? Unidades.
219- ¿A qué llamamos “tono” de un sonido? Unidades.
220- ¿A qué llamamos “timbre” de un sonido? Unidades.
221- ¿Cuándo una onda es “ultrasónica”?
222- ¿Cuándo una onda es “infrasónica”?
223- ¿Qué frecuencia tiene un sonido “agudo” y qué frecuencia tiene un sonido “grave”?
224- ¿A qué se llama “octava”?
225- ¿Cuáles son los 8 sonidos de una escala diatónica?
226- ¿De qué depende el sonido que emite una cuerda que vibra?
227- ¿A qué se llama “frecuencia fundamental”?
228- ¿A qué se llaman “armónicos”?
229- ¿Qué armónicos pueden producir los tubos abiertos?
230- ¿Qué armónicos pueden producir los tubos cerrados?
231- ¿Cuándo una interferencia es “constructiva” y cuándo es “destructiva”?
232- ¿A qué se conoce como “efecto Doppler”?

16- ÓPTICA

233- ¿Cómo se comporta la luz?
234- ¿Qué es un “fotón”? (Einstein 1905)
235- ¿Qué significa el concepto “onda-partícula”? (de Broglie 1923)
236- ¿Cuál es el valor de la velocidad de la luz en el vacío?
237- ¿A cuántos kilómetros equivale un “año luz”?
238- ¿Qué fenómenos presenta la luz como onda?
239- ¿Qué fenómenos presenta la luz como partícula?
240- ¿A que se llama “espejo”?
241- ¿Cuándo una imagen se llama “real”?
242- ¿Cuándo una imagen se llama “virtual”?
243- ¿El ojo humano puede ver las imágenes reales o las imágenes virtuales?
244- ¿Cómo son las imágenes que produce un espejo plano?
245- ¿Cuál debe ser el tamaño del menor espejo plano para que una persona logre verse de cuerpo completo?
246- ¿Cuándo un espejo esférico se llama “convexo”? (radio negativo)
247- ¿Cuándo un espejo esférico se llama “cóncavo”? (radio positivo)
248- Para un espejo esférico, definir: a) centro de curvatura, b) vértice, c) foco, d) distancia focal
249- ¿Cuáles son los tres rayos principales (“notables”) en un espejo esférico?
250- Un rayo que incide paralelo al eje principal, se refleja …
251- Un rayo que incide con la dirección del foco, se refleja…
252- Un rayo que incide con la dirección del centro de curvatura…
253- ¿Qué características tiene una imagen según la posición del objeto?
254- ¿Qué fórmula permite analizar la refracción de la luz? (Snell)
255- ¿A qué se llama “índice de refracción” de una sustancia? Unidades.
256- ¿A qué se llama “prisma óptico”?
257- ¿Cómo es la marcha de los rayos en un prisma?
258- ¿Cuál es la fórmula de Newton para la refracción en un prisma?
259- ¿A qué se llama “prisma de reflexión total”?
260- ¿A qué se llama “lente”?
261- ¿Qué expresa la ecuación del constructor de lentes?
262- ¿A qué se llama “poder convergente” de una lente? Unidades.
263- ¿Cuándo una lente se llama: a) biconvexa, b) plano convexa, c) menisco convergente, d) bicóncava, e) plano cóncava, f) menisco divergente
264- ¿Cómo se calcula el “aumento” producido por una lente?
265- ¿A qué se llama “color” de un rayo luminoso?
266- ¿Por qué el “blanco”no es un color?
267- ¿Por qué el “negro” no es un color?
268- ¿Cuál es el color que menos se desvía y cuál es el color que más se desvía?
269- ¿De dónde obtienen su energía los rayos luminosos?
270- ¿Qué ocurre si se ilumina con luz roja un objeto que se ve de color rojo bajo la luz blanca?
271- ¿Qué ocurre si se ilumina con luz azul un objeto que se ve de color rojo bajo la luz blanca?
272- ¿Cómo se ve bajo luz blanca un objeto que refleja todas las frecuencias?
273- ¿Cómo se ve bajo luz blanca un objeto que absorbe todas las frecuencias?
274- ¿Cuáles son los “colores primarios” y por qué se llaman así?
275- ¿A qué se llama “colores complementarios”?
276- Para un ojo humano, definir: a) esclerótica, b) córnea, c) coroides, d) cristalino, e) conos, f) bastoncillos, g) retina, h) púrpura visual, i) iris, j) pupila, k) humor acuoso, l) humor vítreo, m) punto ciego.
277- Indicar en qué consiste cada uno de estos defectos de la visión y cómo se corrigen: a) miopía, b) hipermetropía, c) astigmatismo.
278- ¿Qué expresa el método geométrico de Huygens para determinar un frente de onda en un instante dado?
279- ¿A qué se llama “difracción” de una onda?
280- ¿A qué se llama “interferencia” de la luz? (Young 1801)
281- ¿A qué se llama “polarización”?
282- ¿Cómo se realiza la polarización por absorción selectiva y qué importancia tiene para analizar sustancias orgánicas?

17- ELECTROSTÁTICA

283- ¿Qué dos tipos de cargas eléctricas existen y cómo interactúan entre ellas?
284- ¿Cómo se sabe que un cuerpo está cargado eléctricamente?
285- ¿Puede crearse una carga eléctrica?
286- ¿Cómo es la carga total en un sistema aislado?
287- ¿A qué se llama “ion”?
288- ¿Cuándo un material se considera “conductor” y cuándo se considera “aislador o dieléctrico”?
289- ¿A qué se llama “semiconductor”?
290- ¿A qué se llama “superconductor”?
291- ¿Qué expresa la Ley de Coulomb? (1788)
292- ¿Cuál es la menor carga existente en la naturaleza? (Millikan 1910)
293- ¿Cuándo existe un “campo eléctrico” en un punto?
294- ¿Cómo se calcula la “intensidad de campo eléctrico” en un punto? Unidades. ¿Es una magnitud escalar o vectorial?
295- ¿Cómo se calcula la “intensidad de campo eléctrico” en un punto situado a una distancia determinada de una carga puntual?
296- ¿A qué se llama “potencial eléctrico” en un punto? Unidades.
297- ¿Qué relación existe entre “trabajo” y “diferencia de energía potencial”?
298- ¿Qué relación existe entre potencial eléctrico y campo eléctrico?
299- ¿A qué se llama “capacitor”?
300- ¿A qué se llama “capacitancia”? Unidades.
301- ¿Qué ocurre cuando dos capacitores se conectan en paralelo?
302- ¿Qué ocurre cuando dos capacitores se conectan en serie?

18- CORRIENTE ELÉCTRICA

303- ¿Cuándo existe una corriente eléctrica entre dos puntos?
304- ¿A qué se llama “intensidad” de una corriente eléctrica? Unidades.
305- ¿A qué se llama “densidad” de corriente?
306- ¿A qué se llama “resistencia” de un conductor eléctrico? Unidades.
307- ¿A qué se llama “resistividad” de un conductor eléctrico? Unidades.
308- ¿De qué depende la resistencia de un conductor eléctrico?
309- ¿Qué expresa la Ley de Ohm? (1827)
310- ¿Cómo se calcula la potencia de un circuito eléctrico? Unidades.
311- ¿A qué se llama “fuente de fuerza electromotriz”? Unidades.
312- ¿Qué ocurre cuando dos resistencias se conectan en paralelo?
313- ¿Qué ocurre cuando dos resistencias se conectan en serie?
314- ¿A qué se llama “nodo” en un circuito eléctrico?
315- ¿A qué se llama “malla” en un circuito eléctrico?
316- ¿Qué expresa la “regla de los nodos”? (en honor a Kirchhoff)
317- ¿Qué expresa la “regla de las mallas”? (en honor a Kirchhoff)
318- ¿Qué es un “amperímetro”?
319- ¿Qué es un “voltímetro”?

19- ELECTROQUÍMICA

320- Definir: a) electrólisis, b) electrolito, c) ánodo, d) cátodo, c) aniones, d) cationes
321- ¿Qué expresa la Ley de Faraday para la electrólisis?
322- ¿Qué relación de valores hay entre faradios y culombios?
323- ¿A qué se llama “pila”?
324- ¿Qué ocurre cuando dos pilas se conectan en paralelo?
325- ¿Qué ocurre cuando dos pilas se conectan en serie?
326- ¿Qué es un “acumulador de plomo”?

20- ELECTROMAGNETISMO

327- ¿A qué se llama “magnetismo”?
328- Las cargas eléctricas que se mueven generan…
329- Los campos magnéticos que varían provocan…
330- ¿Qué son los “polos magnéticos”?
331- ¿Por qué se considera que la Tierra se comporta como un gran imán?
332- ¿Cuándo se dice que en un punto del espacio existe un campo magnético?
333- ¿Cómo se calcula la intensidad de campo magnético en un punto? Unidades.
334- ¿Cuáles son las cuatro diferencias entre la fuerza eléctrica y la fuerza magnética?
335- ¿Qué es la “remanencia” de un material?
336- ¿Qué es la “fuerza coercitiva” de un material?
337- ¿Qué es un motor eléctrico?
338- ¿Qué es un generador eléctrico?

21- INDUCTANCIA
22- CORRIENTE ALTERNA
23- ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
24- ELECTRÓNICA
25 – FÍSICA MODERNA
Sin preguntas.
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Plano inclinado - Recurso sencillo




¡Hola! Aquí de regreso con otra "artesanía didáctica" o como quieran llamarla.
Esta vez se trata de la aplicación de una máquina simple pero muy eficaz y utilizada por todos y para casi todo: la rampa o plano inclinado.

Según Wikipedia (adaptada a nuestro caso):

El plano inclinado es una máquina simple que consiste en una superficie plana que forma un ángulo agudo (α) con el suelo y se utiliza para elevar cuerpos a cierta altura.

Tiene la ventaja de necesitarse una fuerza menor que la que se emplea si levantamos dicho cuerpo verticalmente, aunque a costa de aumentar la distancia recorrida y vencer la fuerza de rozamiento.

Las leyes que rigen el comportamiento de los cuerpos en un plano inclinado fueron enunciadas por primera vez por el matemático Simon Stevin, en la segunda mitad del siglo XVI.

Para analizar las fuerzas existentes sobre un cuerpo situado sobre un plano inclinado, hay que tener en cuenta la existencia de varios orígenes en las mismas.

En primer lugar se debe considerar la existencia de una fuerza de gravedad, también conocida como peso, que es consecuencia de la masa (M) que posee el cuerpo apoyado en el plano inclinado y tiene una magnitud de M.g con una dirección vertical y representada en la figura por la letra P. Es la que está en las sombras debajo del plano inclinado, pero que se ve perfectamente en el modelo real.

Existe además una fuerza normal (N), también conocida como la fuerza de reacción ejercida sobre el cuerpo por el plano como consecuencia de la tercera ley de Newton, se encuentra en una dirección perpendicular al plano y tiene una magnitud igual a la fuerza ejercida por el plano sobre el cuerpo. En la figura aparece representada por N, y vale M.g.cos(α).

Existe finalmente una fuerza de rozamiento, también conocida como fuerza de fricción (FR), que siempre se opone al sentido del movimiento del cuerpo respecto a la superficie. Su magnitud depende tanto del peso como de las características superficiales del plano inclinado y del cuerpo. Estas características generan un "coeficiente de rozamiento". Al momento de fotografiar el modelo no estaba aún colocada la fuerza de fricción o fuerza de roce, que estaría en la dirección del plano, opuesta al movimiento, y entre el plano y el objeto a mover. Su valor es M.g.cos(α).mu (mu es el coeficiente de rozamiento que habitualmente se obtiene de tablas).

La que aparece indicada como F es la componente del peso paralela al plano inclinado. Su valor es M.g.sen(α). Será la fuerza que solicitará que el cuerpo caiga hacia la Tierra siguiendo la pendiente o inclinación del plano.

Si F no supera a FR, el cuerpo se mantiene en equilibrio.
Si F es mayor que FR, el cuerpo se deslizará hacia abajo por el plano inclinado. 
Para subir el cuerpo se debe realizar una fuerza con una magnitud que iguale o supere la suma de F + FR.

El modelo tiene agregado una sección de un transportador que permite mostrar el valor aproximado de α. Además se ve un triángulo rectángulo aplicado con las medidas de sus catetos (base y altura del triángulo) e hipotenusa (longitud parcial del plano que se corresponde con los catetos indicados).

¿Qué se puede hacer con este modelo fijo de un plano inclinado?

Varios ejercicios son posibles. Por ejemplo:
- Demostrar que sabiendo la altura y el largo del plano, se obtiene fácilmente el valor del ángulo ya que cateto opuesto dividido hipotenusa nos dará el valor del seno y luego podremos obtener con él a qué ángulo corresponde. (no es la única forma de calcularlo). Luego verificaremos que es muy aproximado al que se ve en el transportador.
- Podemos suponer que el cuerpo colocado sobre el plano (en este caso una caja) tiene una masa o peso conocido de antemano (P) y que también sabemos el valor de mu entre la base de la caja y la superficie del plano. Entonces podemos calcular las fuerzas F, FR y N.

Creo que lo más útil del modelo aquí presentado es que permite visualizar las 4 fuerzas que intervienen en este asunto: 
- el peso del cuerpo (P)
- la fuerza resultante paralela al plano (F)
- la fuerza de reacción del plano y perpendicular a él (N)
- la fuerza de fricción que siempre se opone al movimiento (FR)
y también permite ver el valor sexagesimal del ángulo de inclinación del plano.

Ahora voy a agregar al modelo la FR que había olvidado colocar y luego quizá tome otra fotografía del modelo pero ya "completito".
Espero que, como en casos anteriores, sigan enviándome sus propios modelos, observaciones y comentarios a danielgalatro@gmail.com para que todos sigamos aprendiendo Física y al mismo tiempo adquiriendo algunas habilidades artesanales.

Un saludo afectuoso desde Esquel.

Prof. Daniel A. Galatro

PD Aquí tomé una fotografía más como había prometido, con el agregado de la FR que había omitido.
Veremos como queda.



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Teoría de conjuntos - una introducción


La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos.

Los conjuntos son colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

Los razonamientos y técnicas de la teoría de conjuntos se apoyan en gran medida en la lógica matemática.

El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas "puras" en la segunda mitad del siglo XIX.

Dados unos elementos, unos objetos matemáticos —como números o polígonos por ejemplo—, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto.

Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica.

Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.

Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. 
Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.

Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C.

Cada uno es subconjunto del siguiente:


Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:

Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.

Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.

Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.

Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.

Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.

Cantor partió de la convicción platonista de que era posible “comprimir” una colección o conjunto de objetos y considerarla como un todo (o mejor dicho, como una sola entidad), y al parecer, aceptando implícitamente los supuestos siguientes:

(i) Un conjunto es una reunión de objetos que cumplen con cierta propiedad (llamados los elementos de ese conjunto) y que, por tanto, queda definido por tal propiedad.

(ii) Un conjunto es una sola entidad matemática, de modo que puede a su vez ser contenido por otro conjunto.

(iii) Dos conjuntos que tengan los mismos elementos son iguales. Así, puede decirse que un conjunto está determinado por sus elementos.

El concepto de conjunto se encuentra a un nivel tan elemental que no es posible dar una definición precisa del mismo. Palabras como colección, reunión, agrupación, y algunas otras de significado similar, se usan en un intento de describir a los conjuntos, pero no pueden constituir una definición, pues son simplemente un reemplazo de la palabra conjunto. Con todo, en la teoría intuitiva de conjuntos lo anterior es admisible, y se acepta la existencia de un universo o dominio de objetos a partir del cual se construyen los conjuntos, así como también permite tratar conjuntos como una entidad singular. No es de importancia la naturaleza de los objetos, sino el comportamiento de un conjunto como entidad matemática.

De lo dicho anteriormente, parece natural introducir una relación diádica de pertenencia. El símbolo usual para representar esta relación es el símbolo , una versión de la letra griega (épsilon). Los segundos argumentos de la relación son llamados conjuntos, y los primeros argumentos son llamados elementos.

Así, si la fórmula   se cumple, se dice que es un elemento del conjunto . Si aceptamos que todo es un conjunto, entonces los primeros y segundos argumentos de pertenecen al mismo dominio.
La negación de se escribe .

Algo más sobre conjuntos:

Se puede definir un conjunto:
-por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
-por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.

Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión,
o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:

A := {1,2,3, ... ,n}
B := {pÎ Z | p es par}

Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B),
y se denota A Í B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a Î A Þ a Î B.

Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A Í B y B Í A;
esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).

El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota à (A).
Entonces, la relación B Í A es equivalente a decir B Î Ã (A). 

Ejemplos:

Si A = {a,b} entonces à (A) = {Æ ,{a},{b},A}.
Si a Î A entonces {a} ÎÃ (A).

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U,
se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.

Fuentes consultadas: diversas en internet.
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Prof, Daniel Aníbal Galatro
danielgalatro@gmail.com

Recursos sencillos - aparejo potencial


¿Cómo están? Yo continúo mis experiencias simples que combinan lo artesanal con lo propio de una ciencia tan apasionante como la Física.

Hoy el tema es otra de las máquinas simples más primitivas usadas por el ser humano: la polea. Un sencillo dispositivo formado por un disco acanalado que en albañilería suele conocerse como "roldana".

Inicialmente se colocaba solamente uno de estos discos con una soga o cadena apoyada en la canaleta y de ese modo permitía elevar pesos tirando desde la soga. La única ventaja era permitir a quien ejercía la "potencia" colocarse en un lugar conveniente, aunque no disminuía la fuerza que debía realizar. Esta forma de polea llamada "fija" era, de todos modos, útil para resolver algunas situaciones.

Pero el ingenio del hombre comenzó a combinar esa polea fija con otras llamadas "móviles" y construir aparatos (aparejos) como el de la fotografía, que bastante trabajo me llevó armar pero al mismo tiempo me gustó mucho hacerlo.

La resistencia es el peso de la tuerca de bronce que ven debajo de todo. Esa fuerza está aplicada sobre la polea móvil que le sigue hacia arriba. Allí la soga la divide en dos fuerzas iguales. La de la izquierda llega hasta la barra superior que es quien la soporta, mientras que la de la derecha está sostenida de la segunda polea móvil. Ya la fuerza necesaria para elevar la tuerca se ha reducido a la mitad.

Esa segunda polea móvil también divide la fuerza aplicada a ella en dos, una que será sostenida por la barra superior y mientras que la otra se dirigirá a la polea fija donde solamente podemos variar su dirección. Pero, ¡albricias!, la fuerza que deberemos ejercer (potencia) será solamente la cuarta parte del peso de la tuerca que deseamos elevar.

Este sencillo pero ingenioso dispositivo puede tener una, dos o más poleas móviles y así disminuir como queramos la fuerza a aplicar. Y como cada polea móvil divide a la mitad la fuerza que recibe, la potencia necesaria será, en cada caso, 1/2, 1/4, 1/8, etc. de la resistencia original.

Como el denominador de esa fracción es siempre una potencia de 2 elevado al número de poleas móviles que se están utilizando, el aparejo recibe el nombre de "potencial".

Ahora, ¡a trabajar! Es cuestión de buscar elementos por ahí y adaptarlos para que les sirvan de modo de armar algo como lo que yo hice o, seguramente, mucho mejor.

Y, si se animan, intentar armar un aparejo de otro tipo, el llamado "factorial", como lo hizo Arquímedes hace algunos años.

Cualquier consulta, envíenme un mensaje al mail y tendré mucho gusto en responderlo.

Un saludo afectuoso desde Esquel.
Prof. Daniel A. Galatro
danielgalatro@gmail.com

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Recursos sencillos - Palanca


¡Hola! Aquí estoy nuevamente con mis "artesanías didácticas". Es que no solamente me permiten intentar ejercer creatividad para diseñar un proyecto sencillo sino luego dedicar un tiempo para concretarlo, rodeado de maderitas, cartón, pegamento, pinturas acrílicas, etc.

Esta vez se trata de una palanca de primer género en la que, por tanto, el punto de apoyo se encuentra entre la potencia y la resistencia.

El apoyo es deslizante, por lo que pueden generarse diversas situaciones. La palanca es la madera en forma de tablita que muestra marcas separadas una de otra por una distancia de 1 cm.

El primer desafío es colocar la tablita sobre el apoyo de modo de que quede equilibrada, lo que permite encontrar el centro de masa aproximado de la tablita. Intenté que coincidiera con la marca central y lo logré bastante bien.

Una vez equilibrada la palanca sin cargas, utilicé dados para demostrar que a iguales fuerzas de cada lado, el equilibrio se logra cuando las distancias de cada uno de ellos al centro de la tabla también son iguales.

Es que lo que deben igualarse son los productos de cada peso (fuerza) por la distancia al punto de apoyo.

Realizado este ejercicio inicial que permite familiarizarse con la palanca, lo que resta es crear situaciones moviendo los pesos o variándolos (por ejemplo colocando dos dados de un lado y uno del otro) para luego encontrar el equilibrio del sistema, es decir, que la palanca (tablita) recupere su posición horizontal.

Los invito a armar su propia palanca y, jugando, demostrar un principio elemental de la estática que permitió a los hombres más primitivos armar una máquina simple y así, trabajar menos para lograr, por ejemplo, levantar cargas pesadas.

Espero sus comentarios. Un saludo afectuoso desde Esquel.
Prof. Daniel A. Galatro
danielgalatro@gmail.com
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Tornos - Recurso sencillo


Hola, amigos. Aquí he continuado con los proyectos de recursos sencillos para visualizar temas de las ciencias naturales. Esta vez le ha correspondido el turno a la máquina simple que recibe nombres diversos, entre ellos el de "torno".

Siguiendo los conceptos vertidos por Alberto Maiztegui y Jorge Sábato en su "Introducción a la Física" publicada allá por 1951 pero con numerosas reediciones, un torno es una palanca que no tiene apariencia de tal porque se ha modificado de modo que pueda girar y arrollar una soga.

El cuerpo principal es un cilindro que por medio de una manija gira alrededor de un eje fijo. La resistencia es el elemento que queremos elevar y la potencia la ejercemos sobre la manivela lateral.

La condición de equilibrio es la misma que la de una palanca. El producto de la potencia por su brazo (momento de la potencia) debe ser igual al producto de la resistencia por su brazo (momento de la resistencia).

Como la resistencia está aplicada en el punto del cilindro en el cual la soga se separa del mismo, el brazo de la resistencia será la distancia (radio) medida desde ese punto hasta el eje. Más claramente, el brazo de la resistencia será el radio del cilindro, que es variable pues aumenta cuando se van superponiendo vueltas de la soga arrollada.

Aplicamos la potencia en la "manija" de la manivela, por lo que el brazo de la potencia será la distancia desde esa manivela hasta el eje en el que se encuentra el cilindro.

Cuanto menor radio tenga el cilindro, menor será el momento de la resistencia. Cuanto más larga sea la manivela, mayor será el momento de la potencia.

La relación entre el radio de giro de la manivela y el radio de giro del torno nos dará la "multiplicación" de ese torno, es decir, cuánto nos beneficiará su uso para necesitar menor fuerza para elevar un determinado peso.

Como los momentos son iguales, la energía obtenida será igual a la energía entregada, lo que significa que el torno no crea energía.

El torno que he creado artesanalmente tiene unos 20 cm de altura total. Utilicé un cilindro que tenía guardado por ahí aunque era de un radio poco interesante (3 cm) y hubiese preferido algo de menores dimensiones. La manivela tiene un radio de unos 6.5 cm con lo que la multiplicación de ese torno nos da aproximadamente 6,5/3 = 2.16. Esto significa que para levantar un peso de 10 gramos necesitaríamos aplicar una potencia de 4,6 gramos. En fácil, reduce a la mitad la fuerza a utilizar, lo cual no está tan mal.

El torno elegido fue un modelo de "aljibe", dispositivo muy utilizado antiguamente en el campo para sacar agua de un pozo que se inunda en su parte inferior con el agua de las napas freáticas, de la lluvia o de cualquier otra fuente adecuada..

El aljibe (del árabe hispano algúbb, y éste del árabe clásico gubb), es un depósito destinado a guardar agua potable. Lo más común es que no sea un torno sino una simple polea fija, pero como ya saben, esto no trae ventaja mecánica y hay que ejercer tanta potencia (o un poco más) que la resistencia que se desea vencer.

Nuestro aljibe del proyecto tiene un cilindro pues nos permite ejercer menor potencia.

Es justo, pues si no usamos la física para vivir más cómodamente, ¿para qué la estudiamos?

Cualquier duda, comentario, etc., al pie de este post o a danielgalatro@gmail.com.

Un saludo desde Esquel.
Prof. Daniel A. Galatro
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Un toque al sistema métrico decimal


Esta tabla se la debía a mis alumnos desde hace demasiados años. En un principio la dibujaba cada vez que necesitaba entrenarlos en la conversión de medidas de longitud, superficie, volumen, capacidad y peso (o masa). Luego de llegado e instalado en Esquel, en tanto llegaba la necesaria computadora nueva, procedí, como algunos ya saben, a transcribir mucha información a cartulinas excesivamente grandes y difícil de manipular. Y ambos métodos (dibujar cada vez o utilizar un diseño poco sencillo de trasladar) resultaban muy lentos y molestos.

Además, cada vez que se la usaba quedaba escrita y había que borrar los números del ejercicio resuelto para poder reemplazarlos por los del siguiente. Y dije muchas veces que haría un diseño más pequeño (como éste de 19 cm x 27 cm) que permite verla completa desde cierta distancia y también aproximarla para colocar los números correspondientes en los lugares adecuados, que aquí se destacan como pequeños rectángulos amarillos. Y por encima, una lámina plástica que pueda escribirse y borrarse con facilidad, o colocarse sobre ella un papel transparente o traslúcido como el de "calcar" (o "manteca").

Y decidí limitarla a las unidades de cada magnitud, tres de sus múltiplos y tres de sus submúltiplos.

Para avanzar en las lineales (longitud, capacidad y peso) corresponde un "rectángulo" por vez (una cifra por vez), para las de superficie se avanza de a dos cifras por vez, y para las de volumen se va avanzando de a tres cifras.

Sencillo, económico y útil. Y si se lo hace más pequeño (tamaño tarjeta de crédito, por ejemplo) apto "para la cartera de la dama o el bolsillo del caballero".

Es un complemento del otro trabajo en el que incluí las conversiones entre unidades, especialmente la relación entre decímetro cúbico, litro y kilogramo, que ya conocen.

Si les parece, pónganse a dibujar y háganse el propio. Yo seguiré pensando nuevos recursos sencillos y quizá se me ocurra alguno realmente valioso.

Un saludo afectuoso desde Esquel
Prof. Daniel A. Galatro
danielgalatro@gmail.com
(gracias por sus mensajes de aliento que me ayudan a seguir intentando)
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Momento lineal - Cantidad de movimiento - Impulso


Momento lineal o cantidad de movimiento es la medida de la capacidad que tiene un cuerpo en movimiento de ejercer una fuerza sobre otro que se encuentre en su camino.
Ese momento lineal de cada partícula individual varía después del choque.

El valor del momento lineal es el producto: p=m·v (m=masa v= velocidad).

La magnitud que nos mide la variación del momento lineal de una partícula se llama impulso. Es el producto I=F·t (F= fuerza t= tiempo).

Cuando aumentamos el momento lineal de un cuerpo, está recibiendo impulso positivo; cuando disminuimos ese mismo momento lineal, el impulso es negativo.

El momento lineal de un sistema de varias partículas es la suma vectorial de los momentos lineales de todas ellas. Y ese momento lineal total es constante, se conserva después del choque.

Principio de conservación del momento lineal:

Cuando un sistema de partículas no recibe impulso del exterior, su momento lineal total es constante.

Cuando dos cuerpos chocan puede suceder:
- que parte de la energía que llevan se utilice en deformarlos
- que parte de la energía que llevan se disipe en forma de calor
- que esa pérdida de la energía que llevan sea despreciable.

Si en un choque se conserva la energía cinética total de las partículas, el choque se considera elástico.
En este caso, la conservación del momento lineal y de la energía cinética determinan totalmente la velocidad de cada partícula tras el choque,

Aunque en la Naturaleza no se puede decir que existan choques totalmente elásticos, hay muchos casos en que la variación de energía en un choque es tan pequeña que no se puede detectar. En esas circunstancias diremos que el choque es elástico.

Un choque es absolutamente inelástico cuando se produce la mayor pérdida de energía posible, compatible con la conservación del momento lineal total. En el caso de choques frontales, esto supone que ambas partículas quedan adheridas una a otra.

Al contrario que en el caso del choque elástico, existen numerosos casos de choques absolutamente inelásticos.

Esto es lo que sucede, por ejemplo, cuando una bala se incrusta en un bloque de madera, o cuando un núcleo atómico absorbe una partícula en un reactor nuclear.

Los choques de partículas reales no tienen por qué ser totalmente elásticos o totalmente inelásticos. Existe un coeficiente K, llamado de restitución, que puede variar de 0 a 1 midiendo el grado de elasticidad.

También puede que los choques no sean frontales, por lo que existe un parámetro de impacto P que varía entre 1 para un choque frontal y 0 para el caso en que un cuerpo pasa rozando al otro.

Es decir que existen dos casos ideales en los que es posible determinar totalmente cómo se va a mover cada partícula después de un choque:

- El choque frontal elástico, donde se conserva tanto la energía cinética como el momento lineal.
- El choque frontal absolutamente inelástico, donde ambas partículas permanecen unidas tras el choque. En este caso se produce la mayor pérdida de energía posible.

Los choques reales oscilarán entre estos dos extremos según el valor de un coeficiente llamado de restitución que toma un valor mayor o igual a cero y menor o igual a uno.

Además, no son necesariamente frontales. Un choque tangencial tiene un parámetro de impacto 0 , mientras que para uno frontal este parámetro vale 1.

Desintegración de partículas en dos fragmentos

Si un cuerpo está en reposo y, por causas internas, se separa en fragmentos, se seguirá cumpliendo la conservación del momento lineal porque sigue sin haber fuerzas externas que lo modifiquen.

Gracias a este principio de conservación, por ejemplo, si una persona situada sobre una pista de hielo lanza una bola de nieve en una dirección, no puede evitar desplazarse en sentido opuesto. Del mismo modo, si un fusil dispara un proyectil, el fusil sale despedido en sentido opuesto (a menos que lo sujetemos fuertemente y resistamos el impulso de retroceso).

Dentro del mundo atómico, el principio de conservación del momento lineal es también el responsable de que, si un núcleo atómico se desintegra emitiendo una partícula, el resto del núcleo debe moverse en sentido opuesto.

Desintegración de partículas en tres fragmentos

Cuando un cuerpo se desintegra, no tiene que hacerlo forzosamente en dos partes; puede que la desintegración se produzca en tres, cuatro o infinidad de fragmentos.

La explosión de un cohete de feria, por ejemplo, conlleva su desintegración en multitud de fragmentos. ¿Pueden tener los fragmentos cualquier dirección y velocidad? Pues casi, casi; salvo que la conservación del momento lineal limita las posibilidades de, por lo menos, alguno de ellos.
Conclusiones sobre la desintegración de sistemas de partículas

Cuando un sistema se desintegra en dos, tres o cualquier número de partículas, bajo la única acción de fuerzas internas, el momento lineal se debe conservar.

Esta condición hace que, en todos los casos, uno de los fragmentos tiene una velocidad y dirección de movimiento determinada únicamente por la conservación del momento lineal.

Veamos un par de ejemplos:

Cuando un átomo se desintegra radiactivamente, el núcleo debe moverse en dirección opuesta a la partícula emitida, para conservar el momento lineal

Al lanzar un cohete, la masa y velocidad de los gases que escapan determinan la velocidad que puede alcanzar el cohete en sentido opuesto, debido a la conservación del momento lineal.

De un trabajo en internet por
José Luis San Emeterio Peña

N. de la R.: El tema de las leyes o principios de conservación del momento lineal, de conservación de la energía mecánica total, etc. suelen crear a veces alguna confusión. Luego de décadas de intentar (y muchas veces lograr) transmitir adecuadamente esos conceptos que forman parte de la base de la comprensión del universo y sus reglas, pedimos a nuestros amigos visitantes asiduos de este blog que envíen preguntas concretas que nos permitan respuestas también concretas. No queremos continuar repitiendo lo general. Preferimos tratar lo particular. Porque así ayudaremos a no desperdiciar la tan valiosa energía que consume tanto el formular una pregunta como en responderla. Gracias por comunicarse permanentemente con nosotros.

Prof. Daniel Galatro


Más sobre el metro patrón y el kilogramo patrón

El comienzo del proyecto

Charles-Maurice de Talleyrand

En 1790, Charles-Maurice de Talleyrand, Obispo de Autun, presentó a la Asamblea Nacional un plan para diseñar un sistema de unidades basado en la longitud de un péndulo que marcara segundos en la latitud 45º.

Los dos principios fundacionales eran:
- que el sistema estuviera basado en observación científica y
- que fuera un sistema decimal.

El metro patrón
Joseph Louis Lagrange

Pierre Simon Laplace

Una comisión de distinguidos de la Academia Francesa de las Ciencias, incluyendo a J. L. Lagrange y Pierre Simon Laplace, se encargaron de la unidad de longitud. Rechazando el péndulo de segundos por no ser suficientemente preciso, la comisión definió la unidad, y le dio el nombre de metro en 1793, como una diezmillonésima de la cuarta parte del meridiano terrestre que pasa por París. La Asamblea Nacional aceptó la propuesta el 26 de marzo de 1791.

Ahora sabemos que el cuadrante de la Tierra es 10.001.966 metros (en el modelo WGS 84), en lugar de exactamente 10.000.000 de metros como fue inicialmente planeado. La principal fuente de error fue el valor que asumieron en la planitud de la tierra y que usaron para corregir el achatamiento.


El kilogramo patrón

Antoine-Laurent Lavoisier

Rene-Just Hauy

El trabajo para determinar la unidad de masa fue asignado a Antoine-Laurent Lavoisier, el padre de la química moderna, y Rene-Just Hauy. Lavoisier fue guillotinado por un tribunal revolucionario en 1794. Las medidas fueron completadas por Louis Lefevre-Gineau y Giovanni Fabroni en 1799.

La unidad de volumen, la pinte (luego renombrada como litro), se definió como el volumen de un cubo de lado igual a la décima parte del metro.

La unidad de masa: el grave (renombrado después como kilogramo), se definió como la masa de una pinta de agua destilada a la temperatura de fusión del hielo. Adicionalmente fue adoptada la escala de grados centígrados para temperatura, con puntos fijados a 0ª y 100ºC correspondientes a los puntos de congelación y ebullición el agua (ahora convertida en la escala Celsius).

Sin embargo, encontraron que no podían enfriar agua líquida a exactamente 0ºC y que la máxima densidad sucede a 4ºC, no a 0ºC como se había supuesto. Sin embargo, la definición del kilogramo fue enmendada para especificar la temperatura de máxima densidad. Sabemos ahora que la masa pretendida era 0,999972 kg., es decir, 1000,028 cm3, en lugar de exactamente 1000 cm3 para el volumen de 1 kilogramo de agua pura a 4ºC.

La construcción de modelos reales

El sistema métrico se adoptó oficialmente el 7 de abril de 1795. El gobierno gestó un decreto (Loi du 18 germinal, an III) formalizando la adopción de las definiciones y términos que están hoy en uso. Se construyó una barra de metal para representar el metro provisional, obtenido de las mediciones de Lacaille , y se derivó un modelo provisional para el kilogramo.

Una conferencia científica incluyendo representantes de los Países Bajos, Suiza, Dinamarca, España e Italia, además de Francia, se celebró de 1798 a 1799 para validar los cálculos y diseñar prototipos modelos. Se construyeron patrones permanentes de platino para el metro y el kilogramo. Estos modelos fueron depositados en los Archivos de la República. Se hicieron oficiales por un acta de 10 de diciembre de 1799.
El sistema métrico se convirtió en obligatorio en toda Francia el 1 de Enero de 1840.

El Tratado del Metro

Fue asegurada aprobación internacional formal por el Tratado del Metro, firmado en Paris por los delegados de 17 países, incluidos los Estados Unidos, el 20 de mayo de 1875.

El tratado establecía la Oficina Internacional de Pesas y Medidas (BIPM). También se decidió la creación de un comité Internacional para Pesos y Medidas (CIPM) para llevar la oficina, y la Conferencia General de Pesos y Medidas como el cuerpo diplomático formal que ratificara los cambios que fueran precisos.

Pavillon de Breteuil - Sèvres - Francia

El gobierno francés ofreció el Pavillon de Breteuil, antiguo pequeño palacio real, para servir de sede para la Oficina en Sèvres, cerca de París.

Los primeros tres kilogramos se hicieron en 1880 y uno fue escogido como el prototipo internacional. En 1884 fueron fabricados 40 barras de kilogramo y 30 metros, con una aleación de 90 por ciento de platino y 10 por ciento de iridio por Johnson, Mathey and Co. de Londres.

El metro y kilogramo originales de los Archivos Franceses en su estado conservado fueron el punto de partida. Una barra de metro particular, la número 6, fue seleccionada como prototipo internacional.
Los Estados Unidos recibieron los metros 21 y 27 y los kilogramos 4 y 20.

Las unidades mecánicas MKS pudieron ser englobadas bajo un único sistema coherente seleccionando el metro, el kilogramo y el segundo como las unidades base.

El metro

El patrón prototipo internacional metro de 1889 era una barra de platino e iridio con sección cruzada en forma de X. El metro era definido por la distancia entre dos líneas grabadas en la superficie superior del puente, en lugar de la distancia entre las dos caras finales. El metro fue derivado del metro de los Archivos Franceses en su estado existente, y la referencia al meridiano terrestre fue abandonada.

El kilogramo

En 1889 se adoptó el kilogramo prototipo internacional como el patrón de masa. El kilogramo prototipo es un cilindro de platino-iridio de igual altura que diámetro de 3,9 cm. y bordes ligeramente redondeados. Para la figura de un cilindro, estas dimensiones son las que presentan la más pequeña relación de superficie por volumen, para minimizar el desgaste. El patrón se conserva cuidadosamente en una caja fuerte en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas y se usa sólo en raras ocasiones. Continúa siendo el patrón actualmente. El kilogramo es la única unidad todavía definida en términos de un artefacto arbitrario, en lugar de un fenómeno natural.

Adaptado de:
http://www.terra.es/personal6/gcasado/si.htm
por el Prof. Daniel Aníbal Galatro