Apunte: Funciones matemáticas

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda.

En análisis matemático, el concepto general de función se refiere en a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática).

La manera habitual de denotar una función f es: f: A → B a → f(a),
donde
-A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida;
-B es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada: y
- f(a) es el algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde.

Una función puede representarse de diversas formas:
-mediante el citado algoritmo o ecuaciones para obtener la imagen de cada elemento,
-mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen, o -como una gráfica que dé una imagen de la función.

El concepto de función como un objeto matemático independiente, susceptible de ser estudiado por sí solo, no apareció hasta los inicios del cálculo en el siglo XVII. René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades variables. La notación f(x) fue utilizada por primera vez por Clairaut, y Euler en 1736.

En 1837 Dirichlet propuso la definición moderna de función numérica como una correspondencia cualquiera entre dos conjuntos de números, que asocia a cada número en el primer conjunto un único número del segundo.

Durante el siglo XIX Dedekind, Weierstrass, y Cantor desarrollaron la teoría de funciones, siendo esta teoría independiente del sistema de numeración empleado. Con el desarrollo de la teoría de conjuntos en los siglos XIX y XX surgió la definición actual de función:

Se denomina "función" toda correspondencia entre dos conjuntos de objetos cualesquiera, no necesariamente numéricos.

Actualmente podemos quedarnos con estas definiciones como punto de partida del estudio de las funciones matemáticas:

Dados dos conjuntos A y B, una función entre ellos es una asociación f que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B.
Se dice entonces que A es el dominio (conjunto de partida) de f y que B es su codominio (conjunto de llegada).

Un objeto o valor genérico a en el dominio A se denomina variable independiente; y
un objeto genérico b del dominio B es la variable dependiente.

Para terminar este primer apunte sobre el tema, digamos que hay tres tipos de funciones:

Se dice que una función f : A → B es inyectiva si las imágenes de elementos distintos son distintas. Esto podría expresarse diciendo que una función es inyectiva si cada elemento del dominio tiene a lo sumo una imagen en el codominio (esto es, una o ninguna).

Se dice que una función f : A → B es suryectiva (suprayectiva o sobreyectiva) si su imagen es igual a su codominio. Esto puede expresarse diciendo que una función es suryectiva si cada elemento del dominio tiene por lo menos una imagen en el codominio (una o más de una).
La definición de función suryectiva asume que esta tiene un codominio especificado previamente. De lo contrario, la noción de suryectividad no tiene sentido.

Se dice que una función f : A → B es biyectiva si es a la vez inyectiva y suryectiva. Esto puede expresarse diciendo que una función es biyectiva si cada elemento del dominio tiene una y sólo una imagen en el codominio.

(continuará)
Gracias por seguir mis notas.
Prof. Daniel Aníbal Galatro
danielgalatro@gmail.com
Esquel Chubut Argentina
Noviembre de 2013

Fuente: Wikipedia y otras.