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Construcciones geométricas



Alguna vez has tratado de trisecar un ángulo, cuadrar un círculo o duplicar un cubo solamente con regla y compás. ¡Qué sorpresa! Te pasó como a los matemáticos de la antigua Grecia, que no pudieron realizar dichas operaciones.

Precisamente la trisección del ángulo, la cuadratura del círculo y la duplicación del cubo son tres clásicos problemas de la antigua Grecia sobre construcciones geométricas que pasaron al siglo XX sin resolver.

Las construcciones geométricas han estado presentes a lo largo de la historia incluso desde el propio surgimiento de la humanidad. La podemos ver en las inmensas construcciones que ha realizado el hombre como el Partenón, en la plástica la vemos en la obra de Da Vinci "La figura humana", utilizando la proporción áurea o número de 60oro y es un tema muy polémico en la actualidad y al cual no se le ha prestado la suficiente atención que lleva el tema.

La sociedad actual exige que nosotros los docentes eduquemos a las nuevas generaciones, les brindemos conocimientos que tengan gran calidad, que formemos un joven con una cultura general, y el tema de las construcciones geométricas no se queda exenta de esta cultura.

A veces vemos como los estudiantes cuando van a realizar un problema geométrico, no realizan correctamente la construcción de la figura, y a veces no pueden realizar un análisis objetivo del problema que les permita resolver el mismo y este es uno de los elementos más afectados dentro de aquellos estudiantes que participan en los diferentes concursos de matemática y de los que no participan cuando se enfrentan a diferentes tipos de evaluaciones.

El principal requisito para resolver un problema de geometría es realizar la figura con toda la exactitud posible, como lo exige el problema, y ahí es donde intervienen los conocimientos que tienen los estudiantes sobre construcciones geométricas.

A lo largo de los años, se ha venido disminuyendo la cantidad de horas clases dedicadas a las construcciones geométricas dentro de los programas de la asignatura de Matemática, solo se reducen a las construcciones de una recta perpendicular o paralela que pasa por un punto exterior a una recta, la construcción de la mediatriz y la bisectriz (que además constituyen lugares geométricos), e incluso en la carrera de Matemática - Física, solo se trabajan las construcciones a partir de los movimientos del plano.

E incluso dentro de los temas que se trabajan para la preparación de concursos y olimpiadas no hay un material dedicado a las construcciones geométricas, y el tema es un objetivo clave para aquellos que año tras año se entrenan para participar en los diferentes eventos.

Nos hemos preguntado ¿dónde han quedado las construcciones con regla y compás? ¿Dónde han quedado las construcciones de triángulos y de circunferencias que tanta utilidad tiene dentro de la Matemática para resolver problemas de geometría?

Precisamente este el propósito del libro que hoy estás leyendo: acercarte a las construcciones geométricas que por un motivo o por otro, no tienes al alcance de tus manos.

El libro contiene 4 capítulos que están dedicados a la construcción de los elementos fundamentales de la geometría, a la construcción de triángulos, a la construcción de cuadriláteros y a la construcción de polígonos, y para todo ello utilizaremos solamente la regla y el compás, además en un anexo 1, mostramos algunos ejercicios propuestos para que ejercites lo que ya has aprendido incluyendo los lugares geométricos más utilizados y un segundo anexo donde presentamos un resumen de los teoremas en los cuales intervienen las figuras antes mencionadas.

Este tipo de problema es relativamente fácil de resolver, solo tienes que tener un poco de ingenio y saber utilizar correctamente la regla y el compás.

No nos podemos olvidar que resolver un problema de construcción en el plano consiste en construir determinados elementos geométricos que satisfagan ciertas condiciones o relaciones pedidas, dado un conjunto de elementos geométricos y utilizando un número determinado de instrumentos de dibujo.

En cada problema de construcción propuesto, te sugerimos que realices los siguientes pasos:

- Análisis: En este primer paso se debe encontrar las condiciones necesarias para la existencia de soluciones. Para esto se supone el problema resuelto, se dibuja una figura que cumpla aproximadamente las condiciones dadas, luego se trata de investigar las relaciones que existen entre los elementos dados y los elementos que deseamos construir, hasta reducir el problema propuesto a problemas ya conocidos. El análisis prepara las condiciones necesarias para la construcción de la figura y solución del problema.

- Construcción y descripción: Este segundo paso consiste en hacer la construcción de la figura con las condiciones pedidas, considerando los resultados y relaciones obtenidas en el análisis del problema. La construcción debe hacerse con los instrumentos que se permiten utilizar, pues la solubilidad del problema, está estrechamente vinculado con estos. Debe hacerse una descripción de los pasos fundamentales de la construcción.

- Demostración: En el tercer paso, la demostración, se justifica la construcción realizada al probar que la figura obtenida satisface las condiciones del problema. Se debe demostrar la proposición siguiente, "si la construcción es siempre realizable, entonces cada figura que así se construya satisface todas las condiciones del problema".

- Discusión: El cuarto paso consiste en dar un resumen sobre el conjunto de soluciones del problema. Aquí se determinan los casos de posibilidad e imposibilidad, los casos de determinación e indeterminación y los casos particulares interesantes que puedan presentarse. Es importante destacar que las figuras que resultan congruentes constituyen una misma solución.

No queda más por decir, yo sé que este libro te va a servir de mucha ayuda y que en tus manos contribuirá en ti, a ver la matemática desde otros puntos de vista.

Wilmer Valle Castañeda
Leer más: http://www.monografias.com/trabajos94/construcciones-geometricas/construcciones-geometricas.shtml#ixzz2HZMXsVT4
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