De los principios variacionales en mecánica clásica es muy conocido el principio de mínima acción de Hamilton el cual plantea que “entre todo los caminos posibles entre dos puntos compatibles con la conservación de la energía, el sistema físico se mueve siguiendo una trayectoria muy particular para la cual el tiempo es mínimo o estrictamente un extremal”.
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De Wikipedia:
La ecuación de Hamilton-Jacobi es una ecuación diferencial en derivadas parciales usada en mecánica clásica y mecánica relativista que permite encontrar las ecuaciones de evolución temporal o de "movimiento".
La ecuación de Hamilton-Jacobi (EHJ) permite una formulación alternativa a la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana (y por tanto a la mecánica newtoniana, basada en el intento de integración directa de las ecuaciones de movimiento). El empleo de la ecuación de Hamilton-Jacobi resulta ventajoso cuando se conoce alguna integral de movimiento.
Además la formulación basada en EHJ es la única formulación de la mecánica en la que el movimiento de una partícula y el de una onda se describen en los mismos términos. Es por esto que la EHJ constituye una meta largamente perseguida de la física teórica, desde Johann Bernoulli en el siglo XVIII buscó una analogía entre la propagación de ondas y partículas. Esta razón fue la que llevo a Schrödinger a buscar una ecuación para la "mecánica ondulatoria" o mecánica cuántica generalizando la ecuación de Hamilton-Jacobi (en lugar de usar los otros enfoques alternativos de la mecánica clásica). Incluso la primera ecuación para mecánica cuántica relativista, la ecuación de Klein-Gordon, se basó en la EHJ relativista en lugar de otros enfoques alternativos.
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